Andris Nelsons wurde am 18. November 1978 in der lettischen Hauptstadt Riga geboren. Nelsons Eltern waren beide Musiker, weshalb der Kontakt zur Musik in sehr jungen Jahren entstand.
So bekam er früh Unterricht im Fach Trompete an der Emil-Dārziņš-Musikfachschule des Lettischen Konservatoriums in Riga. Hier machte er auch erste Dirgiererfahrungen, bevor er ein Studium an der lettischen Musikakademie begann. Während er sein Studium am Sankt-Petersburger-Konservatorium „Rimsky-Korsakow“ bei Alexander Titov fortführte, belegte er zusätzlich Meisterkurse im Fach Dirigieren bei Neeme Järvi und Jorma Panula, international renommierte Dirigenten aus Estland und Finnland.Doch zog es ihn nach einiger Zeit in Russland zurück in seine Heimat, wo er seine erste Stelle als Trompeter im Orchester der Lettischen Nationaloper antrat.
Parallel zu seiner Arbeit als Trompeter bildete er sich als Dirigent fort, unter anderem nimmt Nelsons seit 2002 Privatunterricht bei Mariss Jansons, einem international hochrenommierten Dirigenten, der ebenfalls aus Lettland stammt. Nachdem er seine grundlegende Ausbildung am Petersburger Konservatorium abgeschlossen hatte, machte der sehr wissbegierige Nelsons unter anderem in Finnland und den USA viele internationale Erfahrungen als Orchesterleiter. Unter anderem dirigierte er Konzerte des Chicago Civic Orchestra mit Gidon Kremer als Solisten
In der Spielzeit 2003/2004 wurde Nelsons im Alter von gerade einmal 24 Jahren Chefdirigent der Lettischen Nationaloper in Riga. Hier war er als Dirigent an einer Inszenierung von Wagners „Ring der Nibelungen“ beteiligt, die sich über drei Jahre erstreckte und 2006 mit der Aufführung des Rheingolds in Bergen und Riga begann. In der Saison 2005/2006 gab er zudem sein Debüt beim BBC Philharmonic Orchestra und beim Rundfunk-Sinfonieorchester Berlin.
Von 2006 bis 2009 trat er seine zweite Stelle als Chefdirigent bei der Nordwestdeutschen Philharmonie in Herford an. In der gleichen Saison gab er in Deutschland auch sein Operndebüt an der Deutschen Oper Berlin mit Puccinis La Bohème. In den folgenden Jahren dirigierte er an den renommiertesten Konzerthäusern Europas und den USA und machte sich so auch über Europa hinaus einen Namen. Er dirigierte unter anderem an der Wiener Staatsoper, an der Metropolitan Opera in New York, dem Gewandhausorchester Leipzig, dem Boston Symphony Orchestra oder auch dem Concertgebouw-Orchester in Amsterdam.
Im September 2008 ernannte das City of Birmingham Symphony Orchestra Nelsons zu seinem neuen Chefdirigenten und auch Musikdirektor. Um dem engen Terminplan gerecht zu werden gab Nelsons seinen Posten als Chefdirigent der Nordwestdeutschen Philharmonie auf. Ab der Saison 2014/2015 wurde er, zunächst befristet auf fünf Jahre, der neue Chefdirigent des Boston Symphony Orchestra. Während der Zusammenarbeit mit dem City of Birmingham Symphony Orchestra und dem Boston Symphony Orchestra zeigte sich Nelsons nicht nur als renommierter, sondern auch als innovativer Dirigent.
Am 9. September 2015 wurde bekannt, dass Nelsons 2018 die Nachfolge des scheidenden Gewandhauskapellmeisters antreten wird. Nelsons vollzieht damit den nächsten Schritt in seiner bisher beispiellos erfolgreichen Karriere, da das größte Sinfonieorchester weltweit international einen hervorragenden Ruf genießt. Nelsons wird somit zum 21. Gewandhauskapellmeister, wie die Chefdirigenten des Leipziger Orchesters traditionell genannt werden.Am 05. Oktober 2020 wurde bekannt, dass sein Vertrag in Leipzig bis 2027 verlängert wird.
Anfang 2016 feierte Nelsons seinen nächsten großen Erfolg. Gemeinsam mit dem Boston Symphony Orchestra wurde er mit dem Grammy Award in der Kategorie „Beste orchestrale Aufführung 2015“ für sein Album „Shostakovich: Under Stalin‘s Shadow“ ausgezeichnet.